Можно посчитать все возможные подсуммы.

Самый простой путь – посчитать суммы подмассивов, начиная с каждого элемента по очереди.

Например, для [-1, 2, 3, -9, 11]:

// Начиная с -1:
-1
-1 + 2
-1 + 2 + 3
-1 + 2 + 3 + (-9)
-1 + 2 + 3 + (-9) + 11

// Начиная с 2:
2
2 + 3
2 + 3 + (-9)
2 + 3 + (-9) + 11

// Начиная с 3:
3
3 + (-9)
3 + (-9) + 11

// Начиная с -9
-9
-9 + 11

// Начиная с 11
11

Реализуется с помощью вложенного цикла: внешний цикл проходит по элементам массива, а внутренний считает подсумму, начиная с текущего элемента.

function getMaxSubSum(arr) {
  let maxSum = 0; // если элементов не будет - возвращаем 0

  for (let i = 0; i < arr.length; i++) {
    let sumFixedStart = 0;
    for (let j = i; j < arr.length; j++) {
      sumFixedStart += arr[j];
      maxSum = Math.max(maxSum, sumFixedStart);
    }
  }

  return maxSum;
}

alert( getMaxSubSum([-1, 2, 3, -9]) ); // 5
alert( getMaxSubSum([-1, 2, 3, -9, 11]) ); // 11
alert( getMaxSubSum([-2, -1, 1, 2]) ); // 3
alert( getMaxSubSum([1, 2, 3]) ); // 6
alert( getMaxSubSum([100, -9, 2, -3, 5]) ); // 100

Это решение имеет оценку сложности O(n²). Другими словами, если мы увеличим размер массива в 2 раза, время выполнения алгоритма увеличится в 4 раза.

Для больших массивов(1000, 10000 или больше элементов) такие алгоритмы могут приводить к серьёзным «тормозам».

Идём по массиву и накапливаем текущую частичную сумму элементов в переменной s. Если s в какой-то момент становится отрицательной – присваиваем s=0. Максимальный из всех s и будет ответом.

Если объяснение недостаточно понятно, посмотрите на код, он вполне лаконичен:

function getMaxSubSum(arr) {
  let maxSum = 0;
  let partialSum = 0;

  for (let item of arr) { // для каждого элемента массива
    partialSum += item; // добавляем значение элемента к partialSum
    maxSum = Math.max(maxSum, partialSum); // запоминаем максимум на данный момент
    if (partialSum < 0) partialSum = 0; // ноль если отрицательное
  }

  return maxSum;
}

alert( getMaxSubSum([-1, 2, 3, -9]) ); // 5
alert( getMaxSubSum([-1, 2, 3, -9, 11]) ); // 11
alert( getMaxSubSum([-2, -1, 1, 2]) ); // 3
alert( getMaxSubSum([100, -9, 2, -3, 5]) ); // 100
alert( getMaxSubSum([1, 2, 3]) ); // 6
alert( getMaxSubSum([-1, -2, -3]) ); // 0

Этот алгоритм требует ровно 1 проход по массиву и его оценка сложности O(n).

Больше информации об алгоритме тут: Задача поиска максимальной суммы подмассива. Если всё ещё не очевидно как это работает, просмотрите алгоритм в примерах выше, это будет лучше всяких слов.

Открыть решение с тестами в песочнице.