Allgemeine Aussagen über Halbringe

Zusammenfassung

Gegenstand dieses Kapitels sind solche Begriffsbildungen und Aussagen, die bei den verschiedensten Untersuchungen über Halbringe immer wieder auftreten und daher als allgemeine Grundlage einer algebraischen Theorie der Halbringe angesehen werden können. Jedoch kann man beim ersten Studium einige der in I.2 angegebenen Beispiele für Halbringe (etwa die Beispiele 2.8, 2.9 und insbesondere 2.11) und auch das erst später gebrauchte Lemma 2.20 zunächst übergehen. Das gleiche gilt für den letzten Teil von I.3 ab Lemma 3.11 und für die technisch etwas aufwendigeren Beweise der Struktursätze 4.6, 5.5 und 5.6 für multiplikativ kürzbare Halbringe bzw. für Halbkörper. Die in I.6 zusammengestellten Aussagen über Relationen und partiell geordnete Mengen werden bereits für die Behandlung von Kongruenzen in I.7 und auch später immer wieder gebraucht. Die in I.8 eingeführten Halbringideale stehen in engem Zusammenhang mit Kongruenzen, doch können für Halbringe diese Ideale (im Gegensatz zu der Situation bei Ringen) die explizite Verwendung von Kongruenzen nicht ersetzen. Das Studium der ersten Paragraphen von Kapitel II und auch von Kapitel IV kann aber schon im Anschluß an I.5 erfolgen.