Halbalgebren, Halbgruppen-Halbringe und Potenzreihenhalbringe

Zusammenfassung

Die Untersuchung von R-Moduln, d. h. von kommutativen Gruppen (A, +), auf denen die Elemente eines Ringes R als (links- oder rechtsseitige) Operatoren nach gewissen Operatorgesetzen wirken, ist eine der wichtigsten Grundlagen einer allgemeinen Ringtheorie. Entsprechende Verallgemeinerungen auf Halbmoduln mit Halbringen als Operatorenbereichen (vgl. Definition 1.1) wurden z. B. schon in [Ste59] eingeführt. Wir behandeln derartige S-Halbmoduln in Paragraph V.1 unter Einbeziehung entsprechender Aussagen über R-Moduln, wobei wir auch ∑-Halbmoduln (A, +, ∑) mit Halbringen als Operatorenbereichen betrachten. Darauf aufbauend, untersuchen wir im zweiten Paragraphen Halbalgebren über Halbringen, wiederum in einer Darstellung, die auf Ringe und Moduln spezialisiert die entsprechenden Überlegungen für zwei Algebrenbegriffe der Ringtheorie liefert. Verallgemeinerte Halbalgebren unterscheiden sich von Halbalgebren dadurch, daß ihre Elemente im allgemeinen nur noch durch unendliche Summen angegeben werden können (vgl. V.3). Wichtige Beispiele hierfür sind verallgemeinerte Halbgruppen-Halbringe und (formale) Potenzreihenhalbringe. Vor allem sie führten dazu, Halbringe als Hilfsmittel in der Theoretischen Informatik zu verwenden. Dabei gehen wir hier in V.4 auf den Zusammenhang zwischen Potenzreihenhalbringen und formalen Sprachen ausführlich ein und beweisen die Sätze von Schützenberger und Kleene (vgl. die Sätze 4.14. und 4.15).