התמרת פורייה

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

התמרת פורייה (נקראת גם טרנספורם פורייה; באנגלית: Fourier transform) היא התמרה אינטגרלית המשמשת ככלי מרכזי באנליזה הרמונית. התמרת פורייה היא פירוק של פונקציה לרכיבים מחזוריים (סינוסים וקוסינוסים או לחלופין אקספוננטים מרוכבים) וביצוע אנליזה מתמטית לפונקציה על ידי ניתוח רכיביה. בשל כך ניתן לראות את ההתמרה בתור מיפוי בין מרחב הזמן למרחב התדר. שיטה זו פותחה על ידי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה וקרויה על שמו.

להתמרות פורייה יש שימוש נרחב מאוד בפיזיקה, בהנדסה ובכל תחום העוסק בפולסים ובגלים, ובפרט באופטיקת גלים ובמכניקת הקוונטים. התמרת פורייה היא אחד הכלים החשובים בהנדסת חשמל ומהווה את הבסיס המדעי לפיתוחים טכנולוגיים בתחומי התקשורת הספרתית, עיבוד אותות ומערכות ליניאריות, עיבוד תמונה וקידוד. כמו כן, התמרת פורייה משמשת ככלי בתחומים רבים נוספים של המתמטיקה, למשל בתור כלי עזר לפתרון של משוואות דיפרנציאליות, או בתורת המספרים האנליטית (למשל נוסחת הסכימה של פואסון). בפיזיקה של מצב מוצק ניתן להשתמש בהתמרת פורייה למעבר מהסריג הישיר (כלומר סריג המתאר את מבנה הגביש במרחב המקום) לסריג הופכי (סריג המתאר את אותו הגביש ב"מרחב הגל").

התמרת פורייה מהווה כלי חשוב בניתוח של צלילים משום שצליל צלול (תו בתדר בודד) הוא למעשה גל קול המתנודד בזמן בתדר מסוים. ההתמרה מאפשרת לנתח צלילים ולבודד את התדרים המרכיבים אותם. באופן כללי יותר, התמרת פורייה מאפשרת לאתר רכיבים מחזוריים בתוך פונקציה, ולכן יש לה שימוש רחב בניתוח אותות ובעיבוד תמונה.

ההתמרה היא הרחבה לטור פורייה – כאשר זמן המחזור של הפונקציה המחזורית בטור פורייה שואף לאינסוף מתקבלת התמרת פורייה.

מוטיבציה – פירוק לפונקציות הרמוניות

התמרת פורייה נוצרה מהצורך לפרק כל פונקציה, לצירוף של כמה פונקציות הרמוניות, כאשר פונקציה הרמונית מוגדרת כפונקציה מחזורית בעלת תדירות זוויתית $\omega$ (לפעמים נקראת בקיצור "פונקציה הרמונית" או פשוט "הרמוניה"). הצורה הכללית של פונקציה הרמונית היא:

$f_{\omega }(t)=Ae^{\pm i\omega t}=A\cos(\omega t)\pm iA\sin(\omega t)$.

צירוף ליניארי של כמה פונקציות כאלה נותן ביטוי מהצורה הכללית:

$f_{S}(t)=1/T\sum _{k}f_{\omega _{k}}(t)=1/T\sum _{k}A_{k}e^{i\omega _{k}t}$

כאשר $T$ הוא זמן המחזור של $f_{\omega _{0}}(t)$, ו־$A_{k}$ היא התמרת פורייה ההפוכה של $f_{S}(t)$ עבור $\omega _{k}$ המחושב כך:

$A_{k}=\int _{0+\alpha }^{T+\alpha }f_{S}(t)e^{-i\omega _{k}t}dt$.

על ידי הכפלת כל מקדם בהרמוניה המתאימה לו וסכימת המכפלות, מקבלים את הפונקציה המקורית כסכום של פונקציות אורתונורמליות (כלומר פונקציות בלתי תלויות ליניארית שהנורמה של כל אחת מהן היא 1). כל אחד מהמקדמים, בתחום הנדסת החשמל ובייצוג של האות (סיגנל) המקורי כתלות בזמן, מייצג עוצמה של תדר במערכת היחידות החדשה שאליה הומר על ידי התמרת פורייה ההפוכה.

כאשר בביטוי האחרון לשם מציאת המקדם, משתמשים בדרך כלל בתוך $f(t)$ בערכים של הפונקציה מצורתה הרגילה, כלומר בערכים מתוך הפונקציה המקורית.

$\omega$ – מרחב הפונקציה המותמרת – נקרא מרחב התדירות הזוויתית, או פשוט מרחב התדר. אפשר לראות את המשרעת והפאזה של $A(\omega )$ כרכיבים של אות מחזורי בעל תדירות זוויתית $\omega$. למרחב המקורי קוראים מרחב הזמן.

משמעות ההתמרה למרחב התדר היא שמקבלים פונקציה מרוכבת שמחזירה עבור כל תדירות את המשרעת והפאזה המתאימות על ידי מספר מרוכב (ערכו המוחלט הוא המשרעת, והזווית שלו היא הפאזה). דבר זה נותן כלי חזק מאוד לניתוח התנהגות של פונקציות מבחינת התדר.

דוגמה לשימוש בהתמרה: בקובצי שמע ניתן לפרק את גל הקול לפונקציות הרמוניות ולהסיר מהקובץ את התדירויות הגבוהות (על ידי מסנן מעביר תדרים נמוכים – low-pass filter) שהאוזן לא שומעת ובכך להקטין את נפח הקובץ באופן משמעותי.

הגדרה פורמלית ראשונה

התמרת פורייה של פונקציה $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ מוגדרת כפונקציה $F:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ כך שמתקיים:

התמרת פורייה

$F(\omega )\equiv \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$

אפשר להגדיר את ההתמרה בעזרת קבועים אחרים, בחירת הקבועים נעשית משיקולי נוחות. ההתמרה מוגדרת רק עבור פונקציות שעבורן אינטגרל כזה מוגדר ולא מתבדר. האינטגרל קיים עבור פונקציות שהן אינטגרביליות בערכן המוחלט לפי לבג, כלומר פונקציות ב-$L_{1}(\mathbb {R} )$. מכאן ניתן להגדיר את התמרת פורייה בקבוצה $L_{1}(\mathbb {R} )\cap L_{2}(\mathbb {R} )$ שהיא קבוצה צפופה ב-$L_{2}(\mathbb {R} )$. בשלב הבא מרחיבים את ההתמרה על כל $L_{2}(\mathbb {R} )$, ומקבלים שהתמרת פורייה מוגדרת על אוסף הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג – $L_{2}(\mathbb {R} )$ שהוא מרחב הילברט.

התמרת פורייה ההפוכה

באופן דומה, אפשר להגדיר את ההתמרה בצורה הבאה (התמרה זו נקראת התמרת פורייה הפוכה). זו ההתמרה של פונקציה ${\mathcal {F}}:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ שניתנת על ידי:

התמרת פורייה הפוכה

$f(t)={\mathcal {F}}(t)\equiv {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega$

אפשר לראות שהפעלת התמרת פורייה ההפוכה על התמרת פורייה מחזירה את הפונקציה המקורית.

${\mathcal {F}}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }d\omega \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-i\omega x}e^{i\omega t}dx=$

$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega (t-x)}d\omega \right)dx=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\delta {(t-x)}dx=f(t)$

שכן:

${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{i\omega (t-x)}d\omega =\delta (t-x)\ \$

כאשר $\delta (t-x)$ היא פונקציית דלתא של דיראק.

הגדרה פורמלית שנייה

אפשר לכתוב כל פונקציה $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$, שהיא פונקציה אינטגרבילית בריבוע לפי לבג (אפשר לכתוב זאת בקיצור כך $f\in L_{2}$) כצירוף ליניארי (אינטגרלי) של פונקציות הרמוניות בעלות תדר יחיד באופן הבא:

$(1)\quad \quad \quad \quad f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{{\hat {f}}(\omega )\ e^{i\omega t}\ d\omega }$

הפונקציה ${\hat {f}}(\omega )$ נתונה על ידי

$(2)\quad \quad \quad \quad {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{f(t)\ e^{-i\omega t}\ dt}$

${\hat {f}}(\omega )$ נקראת "ההצגה של $f$ במרחב התדר" בעוד שהפונקציה $f(t)$ נקראת "ההצגה של $f$ במרחב הזמן".

ניתן להצדיק נוסחה זאת משיקולים של אורתוגונליות במרחב $L_{2}$.

מינוח

• ההעתקה המתאימה לכל פונקציה במרחב התדר את הפונקציה המתאימה במרחב הזמן על פי משוואה (1) נקראת "התמרת פורייה הפוכה".
• ההעתקה המתאימה לכל פונקציה במרחב הזמן את הסט הרציף של המשרעות והפאזות עבור כל תדירות (למעשה, זוהי פונקציה במרחב התדר) על פי משוואה (2) נקראת "התמרת פורייה".
• לעיתים מחליפים בין המונחים הנ"ל בספרים שונים.

סימונים וגורמי נרמול

מספר סימונים שונים נהוגים עבור התמרת פורייה וכן ישנן מספר מוסכמות איפה להכניס את גורמי הנרמול בסך $1/2\pi$.

להלן הגישות הנפוצות בנושא:

• הוספת גורם הנרמול $1/2\pi$ באחד מכיווני ההתמרה.
• הוספת גורם נרמול $1/{\sqrt {2\pi }}$ לפני כל אחת מההתמרות.
• הוספת גורם הנרמול $1/2\pi$ להגדרת המכפלה הפנימית.

גישת הסימונים שהופיעה בהגדרה השנייה היא הגישה הנפוצה בפיזיקה ובהנדסה. היא גם שכיחה במתמטיקה עיונית, אם כי בתחום זה גם גישות סימון אחרות זוכות לתפוצה רחבה.

העיקרון המתמטי שמאחורי התמרת פורייה

מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג

המרחב $L_{2}$ הוא מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע לפי לבג. מרחב זה, בצירוף המכפלה הפנימית

$\langle f|g\rangle \equiv \int _{-\infty }^{+\infty }{f(t)\ {\overline {g(t)}}\ dt}=\int _{-\infty }^{+\infty }{f(t)\ {g(t)}^{*}\ dt}$ הוא מרחב הילברט.

אוסף הפונקציות $\left\{e(\omega )\equiv {\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {2\pi }}}\right\}_{\omega \in \mathbb {R} }$ מהווה מערכת אורתונורמלית שלמה, שהיא מעין הכללה של בסיס אורתונורמלי, משמע:

$\langle e(\rho )|e(\omega )\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {e^{i\rho x}}{\sqrt {2\pi }}}\right)\,\left({\frac {e^{-i\omega x}}{\sqrt {2\pi }}}\right)\,dx=\delta (\rho -\omega )$

כאשר הפונקציה $\delta (x)$ היא פונקציית דלתא של דיראק. מערכת זו נקראת במתמטיקה "הבסיס ההרמוני" ואילו בפיזיקה קוראים לפונקציות אלה "גלים מישוריים".

במובן זה, המשמעות של הפונקציה המותמרת היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני, משמע $F(\omega )=\langle f(t)|e(\omega )\rangle$. והמשמעות של ההתמרה ההפוכה היא פונקציית ההיטל של הפונקציה המקורית על הבסיס ההרמוני המוצמד $f(t)=\langle e(t)|F(\omega )\rangle$.

התמרת פורייה כאופרטור

ניתן לראות את התמרת פורייה כאופרטור ${\mathcal {F}}:L^{2}(\mathbb {R} )\to L^{2}(\mathbb {R} )$. אופרטור זה הוא איזומטריה (כלומר על ושומר מרחקים). ניתן אף להגדיר את התמרת פורייה בגישה זאת, כאשר בהתחלה מגדירים את האופרטור על קבוצה צפופה (מרחב שוורץ למשל) עליה הוא איזומטריה, ומרחיבים מרציפות.

סימונים נוספים

לעיתים נהוג לסמן את ההתמרה $F(\omega )$ כפונקציה של הפונקציה המקורית שמחזירה פונקציה אחרת:

$F\equiv {\mathfrak {F}}(f)\equiv {\mathcal {F}}(f)$

או בעזרת אופרטור ה"כובע" על הפונקציה המקורית:

$F\equiv {\widehat {f}}$.

מאחר שסימן ה"כובע" פשוט יותר, הוא יותר מקובל מהשימוש באותיות גדולות או באותיות מסולסלות. כמו כן, את התמרה פורייה ההפוכה נהוג לסמן על ידי כובע הפוך:

$f\equiv {\check {F}}$.

לעיתים, כאשר הממשק הגרפי איננו מאפשר ציור "כובע" רחב, שמים את הביטוי המבוקש בסוגריים ואופרטור ה"כובע" (או הכובע ההפוך) מופיע מעליהם בדומה לסימון של חזקה.

התמרת פורייה לאותות בזמן בדיד (DTFT)

התמרת פורייה בזמן בדיד (discrete-time Fourier transform) היא למעשה טור פורייה (כאשר עושים החלפת משתנים בין t ל־θ).

נניח ש־$\ x[n]$ הוא אות בזמן בדיד, אזי התמרתו נתונה על ידי:

התמרת פורייה בזמן בדיד

$X^{f}(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-i\theta n}$

כאשר תנאי מספיק לקיום ההתמרה הוא:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|x[n]\right|<\infty$

וההתמרה ההפוכה נתונה על ידי:

התמרת פורייה הפוכה בזמן בדיד

$x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }X^{f}(\theta )e^{i\theta n}d\theta$

$X^{f}(\theta )$ מחזורית במחזור $2\pi$.

הסבר אינטואיטיבי על מחזוריות התדר:

אות בזמן בדיד הוא הכפלה של הפונקציה בזמן רציף ב"רכבת הלמים" כאשר רכבת הלמים מוגדרת כך:

$f(t)=\delta (t+nT),n\in \mathbb {Z}$

כאשר $T$ הוא זמן המחזור של הרכבת.

מישור התדר "רגיש" לקפיצות חדות במישור הזמן, כלומר אם יש אי רציפות או שיפוע מאוד גדול בפונקציה, זה גורר תדרים גבוהים. עיקרון זה נובע מהכלל שיוסבר בהמשך:

${\widehat {\frac {df}{dt}}}(\omega )={\widehat {{\dot {f}}(t)}}=i\omega {\hat {f}}(\omega )$

משמעותו היא שגזירה של אות במרחב משפיעה בצורה ליניארית על מישור התדר, כך שהתדרים הגבוהים מקבלים משרעת גבוהה עם עליית התדר. לכן בעת מכפלה של הפונקציה המקורית ברכבת הלמים, שהיא מחזורית, מישור התדר יתנהג כמו פונקציית ההלמים ויהיה מחזורי.

אפשר להסביר זאת גם מבחינה מתמטית מהעיקרון שמכפלה בזמן שקולה לקונבולוציה בתדר,$F(f\bullet g)={\hat {f}}\ast {\hat {g}}$, והתמרת פורייה של רכבת הלמים שווה לרכבת הלמים (עם זמן מחזור שונה ומשרעת שונה), כך שהכפלת האות ברכבת הלמים בזמן יוצרת קונבולוציה של ספקטרום התדירויות של האות עם רכבת הלמים. מהעיקרון שקונבולוציה של כל פונקציה עם הלם היא הזזה של הפונקציה למקום ההלם, מתקבלת פונקציה מחזורית שכל מחזור בה הוא העתקה של ספקטרום התדירויות המקורי.

מפיתוח מתמטי זה עולה שאם דוגמים אות בזמן בדיד, החל מתדר דגימה מסוים (המכונה "תדר נייקוויסט"), אפשר לשחזר את האות במלואו ללא איבוד שום מידע שהרי במישור התדר כל ספקטרום התדירויות של האות המקורי נשמר, רק ששוכפל אינסוף פעמים.

נוצרה פה תופעה מעניינת: דגימה בזמן שקולה למחזוריות בתדר. וגם להפך – התמרת פורייה של אות אינסופי שערכו 0 החל מזמן מסוים (בערך מוחלט), זהה להרחבה מחזורית של אותו האות (טור פורייה), כלומר הרחבה מחזורית בזמן שקולה לדגימה בתדר.

התמרת פורייה לאותות סופיים (או מחזוריים) בזמן בדיד (DFT)

עבור $\ x[n]$ המוגדרת על ידי:

$n\in \{0,1,...,N-1\}$

התמרת פורייה הבדידה (DFT) מוגדרת על ידי:

התמרת פורייה בדידה

$X[m]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-2i{\pi }mn/N}$

עבור $m=0,1,...,N-1$.

ההתמרה במקרה זה היא העתקה ליניארית חח"ע ממרחב ה-N-יות על עצמו. התמרה זו היא ההתמרה היחידה בה הסכימה היא סופית, דבר שהופך אותה לשימושית מאוד עבור שימושי המחשב. משמעות ההתמרה היא מעבר בין בסיסים ליניאריים.

המחשה ויזואלית של מטריצת המעבר. כל שורה וכל עמודה היא וקטור דגימה של הרמוניה מחזורית על המישור המרוכב (פאזור) בעל תדר שונה. השורה האמצעית היא בעלת התדר הגבוה ביותר

מקובל לסמן את ההרמוניה הבסיסית כך:

$e^{i2\pi /N}:=W_{N}$

על ידי סימון זה, ניתן לכתוב את מטריצת המעבר בין בסיס הזמן לבסיס התדר:

$W={\frac {1}{\sqrt {N}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1&\cdots &1\\1&W_{N}&W_{N}^{2}&W_{N}^{3}&\cdots &W_{N}^{N-1}\\1&W_{N}^{2}&W_{N}^{4}&W_{N}^{6}&W_{N}&W_{N}^{2(N-1)}\\1&W_{N}^{3}&W_{N}^{6}&W_{N}^{9}&\cdots &W_{N}^{3(N-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&W_{N}^{N-1}&W_{N}^{2(N-1)}&W_{N}^{3(N-1)}&\cdots &W_{N}^{(N-1)(N-1)}\end{bmatrix}}$

בכל שורה ישנן שתי הרמוניות, אחת ממשית ואחת מדומה, הסכום שלהן יוצר את הפאזור

מטריצה זו היא אוניטרית (עד כדי קבוע), הפיכה ומוגדרת חיובית. משמעות הדבר היא שבמעבר למישור התדר אין איבוד מידע (אפשר לחזור למישור הזמן על ידי הכפלה במטריצה ההפוכה) ואין שינוי באנרגיה (אוניטרית, הערכים העצמיים שווים ל-1 בערכם המוחלט).

כאשר עוברים למישור התדר מתקבל וקטור שמשמעותו הוא המשערת הנדרשת עבור כל הרמוניה כדי לבנות את אותו הווקטור כצירוף ליניארי של כל ההרמוניות (וזהו למעשה, ההרכב הספקטרלי של האות). ככל שיהיה יותר דגימות בזמן, כך מימד המטריצה עולה. משמעות הדבר שהאות מיוצג על ידי יותר תדרים והרזולוציה בתדר עולה.

התמרה זו שימושית מאוד בעיבוד אותות ספרתי. מימוש נאיבי של ההתמרה על וקטור מימד n עובד בסיבוכיות ${\mathcal {O}}(n^{2})$. קיים גם אלגוריתם מהיר למימוש ההתמרה בשם FFT בסיבוכיות ${\mathcal {O}}(n\log n)$.

הקשר בין DFT ל-DTFT והעיוות שנוצר ב-DFT

ניתן להסתכל על הווקטור הסופי שעליו מבצעים DFT בזמן כווקטור אינסופי שעליו מבצעים DTFT כאשר כל הדגימות שאינם הווקטור עצמו שוות ל-0. מבט זה מסביר תופעה של עיוות ספקטרלי שנוצרת ב-DFT. ניקח לדוגמה פונקציית קוסינוס פשוטה. התמרת ה-DTFT שלה היא "דלתא" בתדר, כלומר, היא מורכבת רק מתדר אחד.

אמנם אם נעבור לזמן סופי, הדבר שקול להכפלה של הקוסינוס ב"חלון", הקוסינוס מוכפל בפונקציה שמאפסת את כל מה שלא בתחום ההגדרה שלה. כאשר עוברים למישור התדר ההכפלה בחלון הופכת לקונבולוציה עם ההתמרת פורייה של החלון (שהיא למעשה פונקציית sinc) ובמקום "דלתא" יפה בתדר מתקבלת "זליגת אנרגיה" בין תדרים סמוכים. כדי להתגבר על מכשול זה משתמשים בשיטת החלונות (שינוי צורת החלון כך שיוריד את העיוות) או באלגוריתם "WOLA FFT" (ביצוע DFT על ממוצע של מספר חלונות).

זליגת אנרגיה בין תדרים בהתמרת DFT

ההתמרה ההפוכה

התמרת פורייה בדידה הפוכה

$x[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[m]\cdot e^{i2\pi mn/N}$

תכונות

ליניאריות

התמרת פורייה והתמרת פורייה ההפוכה הן ליניאריות, כלומר:

$\forall f,g\in L_{2}\,\alpha ,\beta \in \mathbb {C} \ \ \ :\ \ \ \ {\widehat {\left(\alpha f+\beta g\right)}}(\omega )=\alpha {\hat {f}}(\omega )+\beta {\hat {g}}(\omega )$

על תכונות של העתקות ליניאריות ראו בערך העתקה ליניארית.

משפט פלנשרל וזהות פרסבל

משפט פלנשרל (Plancherel theorem) קובע כי:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)g(t)^{*}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega ){\hat {g}}(\omega )^{*}\,d\omega$

זהות פרסבל היא מקרה פרטי אך שימושי ביותר של משפט פלנשרל.

$\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(t)\right|^{2}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {f}}(\omega )\right|^{2}d\omega$

הפירוש של תכונה זאת היא שימור הנורמה, כלומר האוניטריות של התמרת פורייה.

העיקרון הפיזיקלי של זהות פרסבל הוא שסך האנרגיה של האות במישור הזמן שווה לסך האנרגיה במישור התדר.

קונבולוציה

קונבולוציה מוגדרת באופן הבא:

$f*g=\int _{-\infty }^{+\infty }{f(x-t)\ g(t)\ dt}$

התמרת פורייה מקיימת את הזהויות הבאות בקשר לקונבולוציה:

• ${\widehat {f*g}}={\hat {f}}\cdot {\hat {g}}$
• ${\widehat {f\cdot g}}={\hat {f}}*{\hat {g}}$

התכונות האלו של התמרת פורייה הופכות אותה לשימושית מאוד בחישובים מורכבים נומריים, במקום לעשות קונבולוציה (שהיא למעשה סכימה על כל המרחב של הכפלות של פונקציות), ניתן להתמיר את הפונקציות למרחב פורייה ושם לכפול אותן פעם אחת ולהחזיר את התוצאה בהתמרה ההפוכה. לעיתים רבות הדרך השנייה יותר מהירה חישובית.

קונבולוציה כוללת 3 פעולות: שיקוף הזזה וסכימה (אינטגרציה) והפונקציה המתקבלת היא פונקציה של t כלומר התוצאה תלויה במידת ההזזה.

כמו כן התמרת פורייה כוללת הכפלה ב$e^{-i\omega t}$ וסכימה כאשר מתקיימת הנוסחה ${\displaystyle {\widehat {f(t-t_{0})}}={\hat {f}}(\omega )e^{-i\omega t_{0}}}$, כלומר, ההזזה בזמן שקולה להכפלה באקספוננט בתדר. ומכאן נובע משפט הקונבולוציה.

הזזה בזמן

${\widehat {f(t-t_{0})}}={\hat {f}}(\omega )e^{-i\omega t_{0}}$

משמעות הדבר היא שהזזה במישור הזמן, משמעותה "סיבוב ליניארי" במישור התדר.

כדי להזיז פונקציה בשלמותה, צריך להזיז את התדרים שבה בלי לפגוע בשלמות הפונקציה. כדי לעשות זאת, צריך להזיז את התדרים הנמוכים יותר מהתדרים הגבוהים (בזמן שתדר $\omega$ זז מחזור שלם תדר $2\omega$ זז 2 מחזורים).

נגזרת

התמרת פורייה מתנהגת בצורה נוחה במיוחד ביחס לפעולת הגזירה.

מאחר שמותר להכניס את סימן הגזירה תחת האינטגרל, קל לראות כי:

${\frac {df(t)}{dt}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int {{\hat {f}}({\omega }){\frac {d}{dt}}e^{i\omega t}d\omega }={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int {{\hat {f}}({\omega })i\omega e^{i\omega t}d\omega }$

ולכן

${\widehat {\frac {df}{dt}}}(t)={\widehat {{\dot {f}}(t)}}=i\omega {\hat {f}}(\omega )$

כלומר, גזירה במרחב הזמן שקולה פשוט לכפל ב־$i\omega$ במרחב התדר.

תכונה שימושית זו נובעת מכך שהפונקציה המעריכית היא פונקציה עצמית של אופרטור הגזירה, שכן

${\frac {d}{dx}}e^{ikx}=ik\ e^{ikx}$

תכונה זו הופכת את התמרת פורייה למאוד שימושית בעבודה עם מערכות שמאופיינות על ידי משוואה דיפרנציאלית (כגון מערכת LTI).

הכללה למספר ממדים

ההכללה לפונקציות ב־$N$ ממדים היא מיידית.

אם $f:\mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {C}$ פונקציה אינטגרבילית לבג, אזי הפונקציה $F({\vec {k}})$ נקראת "ההצגה של f במרחב וקטור הגל" ונתונה על ידי

$F({\vec {k}})\equiv {\hat {f}}({\vec {k}})\equiv {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{N}}}\int _{{\vec {r}}\in \mathbb {R} ^{N}}{f({\vec {r}})\ e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\ d^{N}r}$

וההתמרה ההפוכה מחזירה את הפונקציה המקורית ומוגדרת על ידי:

$f({\vec {r}})\equiv {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{N}}}\int _{{\vec {k}}\in \mathbb {R} ^{N}}{F({\vec {k}})\ e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\ d^{N}k}$

כאשר:

• $\int _{{\vec {k}}\in \mathbb {R} ^{N}}{d^{N}k}$ הוא אינטגרל "נפחי" על כל המרחב (משמע $\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }...\int _{-\infty }^{+\infty }dk_{1}dk_{2}...dk_{N}$).
• ${\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\equiv \sum _{n=1}^{N}{r_{n}k_{n}}$ הוא מכפלה סקלרית ב־$\mathbb {R} ^{N}$.

טבלאות התמרות שימושיות

הטבלאות הבאות מכילות מספר התמרות שימושיות. ${\hat {f}}$ ו־${\hat {g}}$ מציינות את ההתמרות של $f(t)$ ו־$g(t)$ בהתאמה. רק שלוש המוסכמות הנפוצות ביותר מובאות כאן.

קשרים פונקציונליים

	פונקציה	התמרת פורייה אוניטרית, תדירות רגילה	התמרת פורייה אוניטרית, תדירות זוויתית	התמרת פורייה לא-אוניטרית, תדירות זוויתית	הערות
	$f(t)\,$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\xi )\triangleq {\widehat {f_{1}}}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i2\pi \xi t}\,dt\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f_{2}}}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f_{3}}}(\omega )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt\end{aligned}}$	הגדרות
101	$a\,f(t)+b\,g(t)\,$	$a\,{\widehat {f}}(\xi )+b\,{\widehat {g}}(\xi )\,$	$a\,{\widehat {f}}(\omega )+b\,{\widehat {g}}(\omega )\,$	$a\,{\widehat {f}}(\omega )+b\,{\widehat {g}}(\omega )\,$	ליניאריות
102	$f(t-a)\,$	$e^{-i2\pi \xi a}{\widehat {f}}(\xi )\,$	$e^{-ia\omega }{\widehat {f}}(\omega )\,$	$e^{-ia\omega }{\widehat {f}}(\omega )\,$	הסטה בזמן
103	$f(t)e^{iat}\,$	${\widehat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)\,$	${\widehat {f}}(\omega -a)\,$	${\widehat {f}}(\omega -a)\,$	הסטה בתדר, דואלי ל־102
104	$f(at)\,$	${\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,$	${\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$	${\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$	שינוי קנה מידה בתחום הזמן. אם $|a|$ גדול, אזי $f(at)$ מרוכז סביב 0 ו־${\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$ נמרחת ומונמכת.
105	${\widehat {f_{n}}}(t)\,$	${\widehat {f_{1}}}(t)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{1}}{\longleftrightarrow }}\ f(-\xi )\,$	${\widehat {f_{2}}}(t)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{2}}{\longleftrightarrow }}\ f(-\omega )\,$	${\widehat {f_{3}}}(t)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{3}}{\longleftrightarrow }}\ 2\pi f(-\omega )\,$	אותה התמרה מופעלת פעמיים, אבל t מחליף את משתנה התדר (ξ או ω) לאחר ההמרה הראשונה.
106	${\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}\,$	$(i2\pi \xi )^{n}{\widehat {f}}(\xi )\,$	$(i\omega )^{n}{\widehat {f}}(\omega )\,$	$(i\omega )^{n}{\widehat {f}}(\omega )\,$	הנגזרת ה־n־ית. f היא פונקציית שוורץ
106.5	$\int _{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau$	${\frac {{\widehat {f}}(\xi )}{i2\pi \xi }}+C\,\delta (\xi )$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega )}{i\omega }}+{\sqrt {2\pi }}C\delta (\omega )$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega )}{i\omega }}+2\pi C\delta (\omega )$	אינטגרציה. $\delta$ היא פונקציית דלתא של דיראק ו־$C$ היא הממוצע (רכיב DC) של $f(t)$ כך ש־$\int _{-\infty }^{\infty }(f(t)-C)\,dt=0$
107	$t^{n}f(t)\,$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}\,$	$i^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}$	$i^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}$	הדואלי של 106
108	$(f*g)(t)\,$	${\widehat {f}}(\xi ){\widehat {g}}(\xi )\,$	${\sqrt {2\pi }}\ {\widehat {f}}(\omega ){\widehat {g}}(\omega )\,$	${\widehat {f}}(\omega ){\widehat {g}}(\omega )\,$	הסימון $f*g$ מסמן קונבולוציה של $f$ ו־$g$ — כלל זה הוא משפט הקונבולוציה
109	$f(t)g(t)\,$	$\left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\xi )\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\omega )\,$	${\frac {1}{2\pi }}\left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\omega )\,$	הדואלי של 108
110	עבור $f(t)$ ממשית	${\widehat {f}}(-\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}\,$	${\widehat {f}}(-\omega )={\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}\,$	${\widehat {f}}(-\omega )={\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}\,$	סימטריה הרימיטית. ${\bar {z}}$ הוא צמוד מרוכב.
113	עבור $f(t)$ מדומה טהורה	${\widehat {f}}(-\xi )=-{\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}\,$	${\widehat {f}}(-\omega )=-{\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}\,$	${\widehat {f}}(-\omega )=-{\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}\,$	${\bar {z}}$ הוא צמוד מרוכב.
114	${\overline {f(t)}}$	${\overline {{\widehat {f}}(-\xi )}}$	${\overline {{\widehat {f}}(-\omega )}}$	${\overline {{\widehat {f}}(-\omega )}}$	הצמדה מרוכבת. הכללה של כללים 110 ו־113.
115	$f(t)\cos(at)$	${\frac {{\widehat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+{\widehat {f}}\left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)+{\widehat {f}}(\omega +a)}{2}}\,$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)+{\widehat {f}}(\omega +a)}{2}}$	כלל זה נובע מכללים 101 ו־103, תוך שימוש בנוסחת אוילר: $\cos(ax)={\frac {e^{iax}+e^{-iax}}{2}}$
116	$f(x)\sin(at)$	${\frac {{\widehat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)-{\widehat {f}}\left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}}$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)-{\widehat {f}}(\omega +a)}{2i}}$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)-{\widehat {f}}(\omega +a)}{2i}}$	כלל זה נובע מכללים 101 ו־103, תוך שימוש בנוסחת אוילר: $\sin(ax)={\frac {e^{iax}-e^{-iax}}{2i}}$

פונקציות אינטגרביליות בריבוע

	פונקציה	התמרת פורייה אוניטרית, תדירות רגילה	התמרת פורייה אוניטרית, תדירות זוויתית	התמרת פורייה לא-אוניטרית, תדירות זוויתית	הערות
	$f(t)\,$	${\begin{aligned}&{\hat {f}}(\xi )\triangleq {\hat {f}}_{1}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i2\pi \xi t}\,dt\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\hat {f}}(\omega )\triangleq {\hat {f}}_{2}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\hat {f}}(\omega )\triangleq {\hat {f}}_{3}(\omega )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt\end{aligned}}$	הגדרות
201	$\operatorname {rect} (at)\,$	${\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	פונקציית המלבן. פונקציית sinc מנורמלת מוגדרת כאן כ־${\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$
202	$\operatorname {sinc} (at)\,$	${\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\xi }{a}}\right)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	הדואלי של 201. פונקציית המלבן היא מסנן מעביר נמוכים (LPF) אידיאלי, ופונקציית sinc היא התגובה להלם שלו, מה שמורה על כך שמסנן זה אינו סיבתי. פונקציית sinc מוגדרת כאן כ־${\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}$
203	$\operatorname {sinc} ^{2}(at)$	${\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	הפונקציה $\operatorname {tri} (x)$ היא פונקציית המשולש
204	$\operatorname {tri} (at)$	${\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	הדואלי של 203.
205	$e^{-at}u(t)\,$	${\frac {1}{a+i2\pi \xi }}$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(a+i\omega )}}$	${\frac {1}{a+i\omega }}$	הפונקציה $u(t)$ היא פונקציית מדרגה, ו־$a>0$.
206	$e^{-\alpha t^{2}}\,$	${\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\,e^{-{\frac {(\pi \xi )^{2}}{\alpha }}}$	${\frac {1}{\sqrt {2\alpha }}}\,e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}$	${\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\,e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}$	מכאן רואים שעבור התמרת פורייה אוניטרית, פונקציית גאוס מהצורה $e^{-\alpha t^{2}}$ היא התמרת פורייה של עצמה עבור ערכים מסוימים של $\alpha$. על מנת שהיא תהיה אינטגרבילית, צריך להתקיים $\alpha >0$.
208	$e^{-a|t|}\,$	${\frac {2a}{a^{2}+4\pi ^{2}\xi ^{2}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {a}{a^{2}+\omega ^{2}}}$	${\frac {2a}{a^{2}+\omega ^{2}}}$	עבור $a>0$. התמרת פורייה של התפלגות מעריכית כפולה (התפלגות לפלס) היא פונקציית לורנץ.
209	$\operatorname {sech} (at)\,$	${\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi ^{2}}{a}}\xi \right)$	${\frac {1}{a}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)$	${\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)$	התמרת פורייה של סקאנט היפרבולי היא גם סקאנט היפרבולי.
210	$e^{-{\frac {a^{2}t^{2}}{2}}}H_{n}(at)\,$	${\frac {{\sqrt {2\pi }}(-i)^{n}}{a}}e^{-{\frac {2\pi ^{2}\xi ^{2}}{a^{2}}}}H_{n}\left({\frac {2\pi \xi }{a}}\right)$	${\frac {(-i)^{n}}{a}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{2a^{2}}}}H_{n}\left({\frac {\omega }{a}}\right)$	${\frac {(-i)^{n}{\sqrt {2\pi }}}{a}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{2a^{2}}}}H_{n}\left({\frac {\omega }{a}}\right)$	$H_{n}$ הוא פולינום הרמיט מסדר n. אם $a=1$ אז פונקציות גאוס־הרמיט הן פונקציות עצמיות של אופרטור התמרת פורייה. עבור $n=0$ יתקבל כלל 206.

התפלגויות

	פונקציה	התמרת פורייה אוניטרית, תדירות רגילה	התמרת פורייה אוניטרית, תדירות זוויתית	התמרת פורייה לא-אוניטרית, תדירות זוויתית	הערות
	$f(t)\,$	${\begin{aligned}&{\hat {f}}(\xi )\triangleq {\hat {f}}_{1}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i2\pi \xi t}\,dt\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\hat {f}}(\omega )\triangleq {\hat {f}}_{2}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\hat {f}}(\omega )\triangleq {\hat {f}}_{3}(\omega )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt\end{aligned}}$	הגדרות
301	$1$	$\delta (\xi )$	${\sqrt {2\pi }}\,\delta (\omega )$	$2\pi \delta (\omega )$	$\delta (\xi )$ היא פונקציית דלתא של דיראק.
302	$\delta (t)\,$	$1$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,$	$1$	הדואלי של 301.
303	$e^{iat}$	$\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)$	${\sqrt {2\pi }}\,\delta (\omega -a)$	$2\pi \delta (\omega -a)$	נובע מכללים 103 ו־301.
304	$\cos(at)$	${\frac {\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}$	${\sqrt {2\pi }}\,{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}$	$\pi \left(\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)\right)$	כלל זה נובע מכללים 101 ו־303, תוך שימוש בנוסחת אוילר: $\cos(ax)={\frac {e^{iax}+e^{-iax}}{2}}$
305	$\sin(at)$	${\frac {\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)-\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2i}}$	${\sqrt {2\pi }}\,{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}$	$-i\pi {\bigl (}\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a){\bigr )}$	כלל זה נובע מכללים 101 ו־303, תוך שימוש בנוסחת אוילר: $\sin(ax)={\frac {e^{iax}-e^{-iax}}{2i}}$
306	$\cos \left(at^{2}\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	כלל זה נובע מכללים 101 ו־207, תוך שימוש בנוסחה: $\cos(ax^{2})={\frac {e^{iax^{2}}+e^{-iax^{2}}}{2}}$
307	$\sin \left(at^{2}\right)$	$-{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	${\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	$-{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	כלל זה נובע מכללים 101 ו־207, תוך שימוש בנוסחה: $\sin(ax^{2})={\frac {e^{iax^{2}}-e^{-iax^{2}}}{2i}}$
308	$e^{-\pi i\alpha t^{2}}\,$	${\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}\,e^{-i{\frac {\pi }{4}}}e^{i{\frac {\pi \xi ^{2}}{\alpha }}}$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi \alpha }}}\,e^{-i{\frac {\pi }{4}}}e^{i{\frac {\omega ^{2}}{4\pi \alpha }}}$	${\frac {1}{\sqrt {\alpha }}}\,e^{-i{\frac {\pi }{4}}}e^{i{\frac {\omega ^{2}}{4\pi \alpha }}}$	$\alpha$ ממשי. עבור מקרה בו $\alpha$ מרוכב, ראו כלל 206 לעיל.
309	$t^{n}\,$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(\xi )$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )$	$2\pi i^{n}\delta ^{(n)}(\omega )$	$n$ הוא מספר טבעי, ו־$\delta ^{(n)}(\xi )$ היא הנגזרת ה־n של פונקציית דלתא של דיראק. כלל זה נובע מכללים 107 ו־301. באמצעות כלל 101 ניתן להרחיב כלל זה לכל פולינום.
310	$\delta ^{(n)}(t)$	$(i2\pi \xi )^{n}$	${\frac {(i\omega )^{n}}{\sqrt {2\pi }}}$	$(i\omega )^{n}$	הדואלי של 309. $\delta ^{(n)}(\xi )$ היא הנגזרת ה־n של פונקציית דלתא של דיראק. כלל זה נובע מכללים 106 ו־302.
311	${\frac {1}{t}}$	$-i\pi \operatorname {sgn}(\xi )$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )$	$-i\pi \operatorname {sgn}(\omega )$	$\operatorname {sgn}(\xi )$ היא פונקציית הסימן. $1/t$ אינה התפלגות. כדי לעבוד איתה במסגרת תורת ההתפלגויות צריך להשתמש בערך העיקרי של קושי כאשר בודקים אותה מול פונקציות שוורץ. כלל זה יכול להיות שימושי בלימוד התמרת הילברט.
312	${\begin{aligned}&{\frac {1}{t^{n}}}\\&:={\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\log |t|\end{aligned}}$	$-i\pi {\frac {(-i2\pi \xi )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\xi )$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )$	$-i\pi {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )$	$1/t^{n}$ היא התפלגות הומוגנית המוגדרת לפי הנגזרת ההתפלגותית ${\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\log |t|$
313	$|t|^{\alpha }$	$-{\frac {2\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma (\alpha +1)}{|2\pi \xi |^{\alpha +1}}}$	${\frac {-2}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma (\alpha +1)}{|\omega |^{\alpha +1}}}$	$-{\frac {2\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\Gamma (\alpha +1)}{|\omega |^{\alpha +1}}}$	הנוסחה הזאת תקפה עבור $0>\alpha >-1$. עבור $\alpha >0$, מופיעים כמה איברים סינגולריים בראשית, שניתן למצוא על ידי גזירה של 320. אם ${\text{Re}}(\alpha )>-1$, אז $|t|^{\alpha }$ פונקציה אינטגרבילית באופן מקומי , ולכן היא התפלגות מחוסמת (tempered distribution). הפונקציה $\alpha \mapsto |t|^{\alpha }$ היא פונקציה הולומורפית מהחצי הימני של המישור המרוכב (RHP) למרחב הפונקציות המחוסמות. היא מאפשרת הרחבה מרומורפית ייחודית עבור התפלגות מחוסמת, המסומנת גם $|t|^{\alpha }$ עבור $\alpha =-1,-3,...$.
	${\frac {1}{\sqrt {|t|}}}$	${\frac {1}{\sqrt {|\xi |}}}$	${\frac {1}{\sqrt {|\omega |}}}$	${\frac {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {|\omega |}}}$	מקרה פרטי של 313.
314	$\operatorname {sgn}(t)$	${\frac {1}{i\pi \xi }}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {1}{i\omega }}$	${\frac {2}{i\omega }}$	הדואלי של 311. במקרה זה יש להתייחס להתמרת פורייה כערך העיקרי של קושי.
315	$u(t)$	${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi \xi }}+\delta (\xi )\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)$	$\pi \left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)$	הפונקציה $u(t)$ היא פונקציית מדרגה. כלל זה נובע מכללים 101, 301 ו־314.
316	$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)$	${\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\xi -{\frac {k}{T}}\right)$	${\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)$	${\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)$	מסרק דיראק. ניתן להוכיח כלל זה מכללים 302, 102 ומכך שמתקיים: ${\begin{aligned}&\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{int}\\={}&2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t+2\pi k)\end{aligned}}$.
317	$J_{0}(t)$	${\frac {2\,\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	${\frac {2\,\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	הפונקציה $J_{0}(t)$ היא פונקציית בסל מהסוג הראשון מסדר 0.
318	$J_{n}(t)$	${\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi \xi )\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	${\frac {2(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	כלל זה הוא הכללה של כלל 317. הפונקציה $J_{n}(t)$ היא פונקציית בסל מהסוג הראשון מסדר n. הפונקציה $T_{n}(t)$ היא פולינום צ'בישב מהסוג הראשון.
319	$\log \left|t\right|$	$-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\left|\xi \right|}}-\gamma \delta \left(\xi \right)$	$-{\frac {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\left|\omega \right|}}-{\sqrt {2\pi }}\gamma \delta \left(\omega \right)$	$-{\frac {\pi }{\left|\omega \right|}}-2\pi \gamma \delta \left(\omega \right)$	$\gamma$ היא קבוע אוילר-מסקרוני. יש צורך להשתמש באינטגרל חלק סופי (finite part integral) בעת בדיקה של ⁠$1/|\xi |$ או $1/|\omega |$ מול פונקציות שוורץ. השיטה הספציפית המשמשת להגדרת אינטגרל החלק הסופי הזה יכולה להשפיע על המקדם של פונקציית הדלתא.
320	$\left(\mp it\right)^{-\alpha }$	${\frac {\left(2\pi \right)^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \xi \right)\left(\pm \xi \right)^{\alpha -1}$	${\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \omega \right)\left(\pm \omega \right)^{\alpha -1}$	${\frac {2\pi }{\Gamma \left(\alpha \right)}}u\left(\pm \omega \right)\left(\pm \omega \right)^{\alpha -1}$	נוסחה זאת תקפה כאשר $1>\alpha >0$. ‏$u$ היא פונקציית מדרגה.

שימושים

• 

  שרטוט של פורייה באמצעות חיבור של תנועות מעגליות, בעזרת התמרת פורייה על מספרים מרוכבים אפשר למצוא תנועות מעגליות שהסכום שלהן שואף לשרטוט נתון.

  מתמטיקה
  • פתרון משוואות דיפרנציאליות (בעיקר חלקיות)
  • אנליזה הרמונית
  • אנליזה פונקציונלית
• פיזיקה
  • גלים
  • פתרון משוואת הגלים
  • פתרון משוואת החום
  • קרינה אלקטרומגנטית
  • מכניקת הקוונטים
  • פתרון משוואת שרדינגר
• מדעי המחשב
  • עיבוד אותות
  • עיבוד קול
  • עיבוד תמונה
• הנדסה
  • אלקטרוניקה
  • אלקטרומגנטיות

ראו גם

• טור פורייה
• תורת שטורם-ליוביל
• שדה המספרים המרוכבים
• חשבון אינפיניטסימלי
• אלגברה ליניארית
• מרחבי מכפלה פנימית ובפרט מרחב הילברט
• אורתוגונליות
• משוואות דיפרנציאליות
• אופרטור הרמיטי
• התמרת פורייה קוונטית
• התמרת לפלס
• התמרת האף

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא התמרת פורייה בוויקישיתוף

• מחשבון להתמרה פורייה ישירה והפוכה
• התמרת פורייה – טרנס טאו
• ארז גרטי, פורייה: עושים גלים, באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 5 נובמבר 2011
• התמרת פורייה, באתר MathWorld (באנגלית)
• סרטון הסברה על מישור התדר
• מבוא רעיוני להתמרת פורייה מתוך הבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"
• building the Fourier transform, סרטון בערוץ "Michael Penn", באתר יוטיוב (אורך: 23:12)
• התמרת פורייה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)